浮点数运算的误差问题是由于计算机中浮点数的表示方式和有限的精度所导致的。计算机使用二进制系统来表示和存储数据，而浮点数在计算机中通常遵循 IEEE 754 标准。这个标准定义了浮点数的存储结构，包括符号位、指数位和尾数位（或称为小数位）。

以下是导致浮点数运算误差的几个主要原因：

  1. 有限的精度：计算机中的浮点数不能表示所有的实数，只能近似表示。例如，像 1/3 这样的分数在二进制中是无限循环小数，无法精确存储。即使是一些简单的十进制小数，如 0.1，在二进制中也无法精确表示。
  2. 舍入误差：当数字的位数超过浮点数格式所能表示的位数时，就会发生舍入。这种舍入会导致最终结果与实际的数学结果存在微小的差异。
  3. 运算过程中的累积误差：在进行一系列浮点数运算时，每一步运算都可能引入舍入误差，这些误差可能会在计算过程中累积，导致最终结果与预期有较大偏差。
  4. 有限的范围：浮点数表示有一个最大值和一个最小值。超出这个范围的数会导致溢出（overflow）或下溢（underflow）。
  5. 运算规则的差异：数学运算通常具有一些属性，如结合律和分配律，但是在浮点数运算中，由于舍入误差，这些属性可能不再严格成立。

为了减少浮点数运算的误差，可以采取以下措施：

  • 使用更高精度的浮点数类型（如双精度浮点数 double 比单精度浮点数 float 有更高的精度）。
  • 尽量减少连续的浮点数运算，以降低误差累积。
  • 对于关键的金融计算，考虑使用定点数或者特定的库（如 Python 中的 decimal 模块），这些库提供了更精确的数值表示和控制。
  • 在算法设计时考虑数值稳定性，选择更稳定的算法来减少误差的影响。

理解和处理浮点数的误差是科学计算和工程领域中的一个重要方面，需要根据具体的应用场景和需求来选择合适的策略。

MySQL 存储金额一般不实用浮点数，而是使用 DECIMAL

在 MySQL 中存储金额时，推荐使用 DECIMAL 或 NUMERIC 类型，因为这两种类型提供了固定的小数精度，非常适合存储精确的小数值，如货币金额。DECIMAL 和 NUMERIC 是可以互换的，它们在 MySQL 中的行为是一样的。

当你定义一个 DECIMAL 类型的列时，你可以指定精度（总位数）和小数点后的位数。例如，如果你想要存储最高为999.99的金额，你可以这样定义列：

amount DECIMAL(5,2)

这里，5 是总位数（包括小数点前后的数字），而 2 是小数点后的位数。这意味着最大的数值是 999.99。

使用 DECIMAL 类型的好处是：

  • 它能够精确地存储小数，没有浮点数的舍入误差。
  • 它适合进行精确的算术运算，特别是涉及金钱的计算时，这一点非常重要。

不推荐使用 FLOAT 或 DOUBLE 类型来存储金额，因为这些类型是浮点数，它们在存储和计算时可能会引入舍入误差。

在定义 DECIMAL 类型时，你应该根据实际的业务需求来选择合适的精度和小数位数。例如，如果你的金额需要精确到分，并且最大金额不会超过一定的值，你应该相应地设置 DECIMAL 的精度和小数位数，以确保可以精确地表示所有可能的金额值。

DECIMAL 类型在数据库中不会有误差，是因为它以固定小数点的方式存储数值。这意味着 DECIMAL 类型存储的是精确的数值，而不是近似值。当你定义一个 DECIMAL 类型的字段时，你会指定一个精度（总共的位数）和一个小数位数（小数点后的位数）。数据库会根据这些指定的参数精确地存储和计算数值。

例如，如果你定义了一个 DECIMAL(10,2) 类型的字段，那么这个字段可以存储的最大值为 99999999.99，最小值为 -99999999.99（如果允许负数的话）。无论何时插入或更新这个字段的值，只要值的总位数不超过10位，小数位数不超过2位，数据库就会精确地存储这个值，不会有任何舍入或精度损失。

相比之下，FLOAT 和 DOUBLE 类型是浮点数类型，它们以二进制格式存储数值的近似值，并且可能会因为二进制表示的限制而引入舍入误差。这些类型适合用于科学计算和工程应用，其中一些舍入误差是可以接受的。但是对于需要精确数值的应用，如金融应用，使用 FLOAT 或 DOUBLE 类型可能会导致不可接受的计算误差。

因此，对于需要精确小数点和固定小数位数的场景（如货币、会计和金融计算），DECIMAL 类型是更好的选择，因为它保证了数值的精确性和一致性。

在 MySQL 中，DECIMAL 类型的底层处理涉及将每个数字（0-9）存储为固定长度的二进制表示。这种表示方式与浮点数的表示不同，因为它不涉及二进制小数点或指数部分，而是直接存储每个十进制数字的二进制编码。

下面是 DECIMAL 类型在 MySQL 中的一些底层处理细节：

  1. 打包存储：DECIMAL 类型的数值被“打包”存储在二进制格式中。每个十进制数字（0-9）通常使用4位二进制数字（即半个字节）来表示。因此，两个十进制数字可以被打包存储在一个字节中。这种打包方式使得存储更加高效，同时保持了数值的精确性。
  2. 精度和标度：当你声明一个 DECIMAL(M, D) 类型时，M 表示数值的总精度（整数部分和小数部分的总位数），而 D 表示小数部分的位数（标度）。MySQL 根据这些参数分配足够的字节来存储 DECIMAL 值。
  3. 固定小数点：DECIMAL 类型使用固定小数点表示法，这意味着小数点的位置是固定的，不会像浮点数那样随着数值的大小而改变。这种表示法有助于执行精确的数学运算，特别是在金融计算中。
  4. 精确计算：在进行数学运算时，DECIMAL 类型的数值会以其精确的十进制形式进行计算，确保了结果的精确性。这与浮点数的近似计算不同，后者可能会因为舍入误差而导致精度损失。
  5. 存储空间：DECIMAL 类型的存储空间取决于声明的精度和标度。MySQL 文档提供了计算所需存储空间的公式，基本上是根据整数部分和小数部分需要的字节数来计算的。
  6. 性能考虑：虽然 DECIMAL 类型提供了精确的数值存储，但是与整数类型相比，它在处理速度上可能稍慢，因为需要进行更复杂的数学运算。然而，对于需要高精度的应用，这通常是一个可以接受的折衷。

总的来说，DECIMAL 类型在 MySQL 中的底层处理确保了数值的精确表示和计算，使其成为存储和处理金融数据的理想选择。